在本系列關于粒度及其分布的上一篇文章中，我們已使用連續分布定義了微分粒度分布和累積粒度分布函數的主要特征，并對此進行了討論。連續分布可以通過分級實驗?近似測量。例如，當分級后的分布片段通過檢測器時，每秒采集一次數據，從而得出粒徑和含量*。然而，粒度本質上是離散的。因此，讓我們來研究一下由單顆粒計數器測量的離散分布。?這里的“含量” 指的是在由上下限定義的粒度范圍中顆粒的數量、計數或頻率。
累積分布表格格式：
| 粒度范圍（單位：μm） | 計數 | 百分比 | 累積百分比 |
|---|---|---|---|
| 0-4 | 104 | 10.4 | 10.4 |
| 4-6 | 160 | 16.0 | 26.4 |
| 6-8 | 161 | 16.1 | 42.5 |
| 8-9 | 75 | 7.5 | 50.0 |
| 9-10 | 67 | 6.7 | 56.7 |
| 10-14 | 186 | 18.6 | 75.3 |
| 14-16 | 61 | 6.1 | 81.4 |
| 16-20 | 79 | 7.9 | 89.3 |
| 20-35 | 103 | 10.3 | 99.6 |
| 35-50 | 4 | 0.4 | 100.0 |
| >50 | 0 | 0.0 | 100.0 |
| 總計 | 1000 | 100% |
總計統計了1000顆顆粒（第二列），因此只需將小數點向左移動一位（如 104 變為 10.4%，第三列），即可輕松計算出每個粒度范圍（第一列）的百分比。累計小于某一粒度的百分比（第四列）通過將當前粒度范圍的百分比與上方所有粒度范圍的百分比相加得出。因此，第一個粒度范圍的累積百分比為 10.4%；第二個為 10.4% + 16.0% = 26.4%；第三個為 16.1% + 26.4% = 42.5%；以此類推，直至達到100%。
累積分布的圖形格式
如果我們以每個粒度范圍的上限為橫坐標，以累積百分比為縱坐標進行繪圖，即可得到累積小于某一粒度的分布圖。如上圖所示。
本例由 10 個大小不等的粒度范圍組成，這在討論頻率分布時會產生影響。但在討論累積小于某一粒度的分布時，粒度范圍數量相對較少會更直觀易懂。
百分位數直徑是從圖中讀取的；然而，在這個特定的例子中，它們也可以直接從表格數據中估算得出，其中中位徑d50恰好為 9 μm。
黑色的點表示原始數據，在零點處額外添加了一個點以便觀察。紅線表示連續累積小于某一粒度的分布的平滑曲線。顯然，由于數據點很少，還可以繪制出多條不同的平滑曲線。或者，如果已知累積小于某一粒度的分布的簡單函數形式，則可對其進行非線性最小二乘擬合。問題：大多數粒度分布不符合簡單的函數形式。偶爾有些分布符合，如對數正態分布（兩個參數），但并不多。
如果沒有可求導的簡單函數形式，或者像這里一樣數據點太少，那么數值微分就非常不可靠。在這種情況下，為了確定平均值、眾數值和寬度度量，應如何獲得與微分粒度分布等效的數據呢？
答案：從直方圖入手。
頻率分布直方圖
該圖展示了不同粒度范圍（第一列）下顆粒的數量（第二列）。在統計學中，這被稱為每個粒度范圍的出現頻率。
但這看起來并不太像粒度分布，對嗎？
原因很簡單：粒度級并不都是相同的，因此，在我們采取措施解決這個問題之前，我們無法識別出與本系列前文所展示的微分粒度分布類似的內容。
為了解決這個問題，將顆粒數量除以粒度范圍寬度，由此可得每微米的頻率（見下表第三列）。這使得我們能夠比較不同粒度范圍下的分布。
| 粒度范圍（單位：μm） | 計數 | 每微米的頻率 | 每微米的占比 |
|---|---|---|---|
| 0-4 | 104 | 26.0 | 0.0260 |
| 4-6 | 160 | 80.0 | 0.0800 |
| 6-8 | 161 | 80.5 | 0.0805 |
| 8-9 | 75 | 75.0 | 0.075 |
| 9-10 | 67 | 67.0 | 0.0670 |
| 10-14 | 186 | 46.5 | 0.0465 |
| 14-16 | 61 | 30.5 | 0.0305 |
| 16-20 | 79 | 19.8 | 0.0198 |
| 20-35 | 103 | 6.87 | 0.0687 |
| 35-50 | 4 | 0.267 | 0.0003 |
| >50 | 0 | 0 | |
| 總計 | 1000 |
每微米頻率與粒度范圍的關系圖
將第三列（每微米頻率）與第一列（粒度范圍）作圖，開始呈現出粒度分布的樣子：
可以看到眾數直徑大約在 6 μm 附近。并且可以按如下公式計算平均直徑：
其中，Ni為第二列中的數值，即顆粒的頻率（計數或數量），di為第一列顆粒粒度范圍的中點值。對 i 值從 1 到 10 的粒度范圍進行求和，結果得出數量平均直徑為 10.8 μm。
甚至可以估算半峰寬寬：由于最大值約為 80，其一半就是 40。在 40 處畫一條水平線，它與單峰圖在 4 μm和 14 μm 處相交。因此，半峰寬（FWHM）為 10 μm，半峰半寬（HWHM）為 5 μm。
現在，任何柱形的面積都代表該粒度范圍內的總量，在此情況下為顆粒的數量。這類似于連續微分分布曲線在任意兩個直徑之間的面積。在頻率分布中，柱形的高度代表該粒度范圍內的顆粒總數。
因此，通過頻率/微米圖表示等效的微分顆粒粒度分布，我們可以再次確定平均直徑、眾數直徑、半峰寬以及粒度分布寬度的其他絕對和相對度量。然而，以下是我們無法做到的：除非計數的顆粒總數相等，否則我們無法比較兩個不同的分布。
每微米的占比與粒度范圍的關系圖
為了比較不同總數量的分布，我們必須將每個粒度范圍內每微米的頻率除以顆粒總數（1000）。這樣就得到了每微米的占比，即第四列。每微米的占比與粒度范圍的垂直條形圖如下所示：
其形狀與 每微米的頻率完全相同，但 y 軸現在是每微米的占比。如果你有不同的測量數據，就可以在這種類型的圖中疊加展示，以查看它們是否相同。
在此還可以做一件事，來呈現離散的 “占比 /粒度范圍” 圖是如何開始類似于連續微分分布的。使用平滑且連續的曲線連接每個柱形的中點，這樣得到的圖形就類似微分粒度分布。盡管可以繪制出許多類似的平滑曲線。
哪種離散分布是最佳的數據呈現方式？
如果粒度范圍相對較少，且沒有理由認為某個特定函數能很好地擬合數據，則僅使用從累積小于某一粒度的分布中獲得的統計數據：中位數、百分位數、跨度等。這些數值的誤差最小。
總結
與連續分布的情況類似，人們可以從離散的表格數據構建累積小于某一粒度的離散分布，并確定中位數、百分位數和分布寬度的度量。構建類似于連續微分分布的圖形更為困難。
若要構建類似圖形，可從 “頻率與粒度范圍” 的表格和圖形入手。如果所有粒度范圍都相等，則將每個頻率除以顆粒總數，并創建 “占比/粒度范圍” 圖。
如果粒度范圍不相等，則先將每個頻率除以其自身的粒度范圍寬度，然后再除以顆粒總數。
如果粒度范圍的數量足夠多，看看能否通過連接中點構建出類似平滑微分分布的圖形。
? 例如重力沉降和離心沉降、場流分離、流體動力學色譜法等。
* 含量可以是數量加權、表面積加權、體積加權、質量加權或光強加權。不同加權方式得到的分布之間會有差異。加權的主題在本系列關于粒度測量的另一篇文章中進行了討論。
? 單顆粒計數器包括電感應區計數器和光感應區計數器、圖像分析儀以及單顆粒追蹤裝置。